1917. szeptember 18-án Szombathelyen született sokgyermekes, szegény családban. Gyerekkorában labdaszedő volt a helyi teniszpályán, néha-néha kipróbálhatta az ütögetést is. Ekkor figyelt fel rá egy amatőr játékos, Dr. Fernádi Ferenc, aki a saját költségén íratta be teniszezni. A 17 éves fiú gyorsan fejlődött: egy évvel később a felnőttek között szerezte meg a vidék bajnoka címet.
Két év múltán már nemzetközi szinten is jegyezték, egyéniben és párosban is egyik győzelmet aratta a másik után, és hamar a kontinentális rangsor élére került.
Pestre költözött, ahol a Budai Torna Egylet játékosaként 1938-ban megverte a világ akkori legjobbját, a wimbledoni bajnok amerikai Donald Budge-ot, s bekerült a Davis Kupa-csapatba. A magyar színeket majd két évtizeden keresztül képviselte, összesen 41 mérkőzésen játszott. Tagja volt az 1941-ben Közép-európai Kupát nyerő magyar együttesnek is.
Asbóth nyúlánk testalkatú, nem túlságosan erős fizikumú, de technikailag képzett játékos volt, aki ösztönszerűen, nagy lendületű ütésekkel játszott. Helyezkedési érzékével sok labdát elért, tenyeres ütésének nem volt párja. Tiszta játék és sportszerűség jellemezte. Az elegancia uralta minden mozdulatát, de még öltözetét, megjelenését is. Jellegzetes viselete, a hosszú, világos „porcelánnadrág" jótékonyan fedte vékony lábait.
Közismert beceneve a Bem apó volt, de előfordult olyan vetélytársa is, aki „Miszter Monotonnak” hívta kitartó hozzáállása és szívós stílusa miatt.
1939-ben lett először magyar bajnok, később egyéniben tizenhárom, párosban tíz, vegyes párosban öt, csapatban hét bajnoki címet szerzett. Az akkoriban rangosnak számító magyar nemzetközi bajnokságon további hét egyéni győzelmet, párosban öt, vegyes párosban nyolc sikert jegyzett. A második világháború miatt sokáig nem tudott versenyezni, nemzetközi tornákon nem indulhatott, 1943-ban a Nemzeti Sport mégis „a magyar teniszsport koronázatlan királyának, Európa legjobb teniszezőjének" nevezte, és az év sportolójának választotta. A háború után a Budapesti Egyetemi Athletikai Club (BEAC), 1949-től a Budapesti Vasas SC, 1955-től a Budapesti Bástya teniszezője volt.
Magyarország sportolói 1947-től vehettek ismét részt nemzetközi versenyeken, így Asbóth is elindulhatott a nem hivatalos salakpályás világbajnokságként számon tartott Roland Garroson. Az első négy fordulón játszmaveszteség nélkül jutott túl, a negyeddöntőben magabiztos játékkal a háromszoros győztes francia Yvon Petrát verte, majd az amerikai Tim Brown sem tudta megállítani. A dél-afrikai Eric Sturgess ellen
a döntőben játszmaveszteség nélkül győzött, amivel örökre beírta magát a sportág történetébe: a mai napig az övé az egyik legnagyobb magyar teniszsiker, ő az egyetlen magyar férfi egyes Grand Slam-győztes.
Ugyanezen a Roland Garroson az 1958-ban egyéniben is győztes Körmöczy Zsuzsával vegyes párosban harmadik helyezést ért el.
A következő évben Wimbledonban elődöntős volt, egyetlen európaiként került be a legjobb négy közé, de ott megsérült, és kikapott az ausztrál John Bromwichtól. 1948 végén a kilencedik helyen állt a félhivatalos világranglistán, a következő évben pedig – bár nem tudta megismételni korábbi sikereit – még egy hellyel előrelépett.
Az ötvenes években már csak kisebb tornákon szerepelt, 1957-ben, negyvenévesen játszotta utolsó mérkőzését a magyar Davis Kupa-csapatban. Visszavonulása után tenisziskolát szeretett volna nyitni, de eközben
1958-ban Belgiumba hívták edzőnek. Érdemeire való tekintettel megkapta a tartós külföldi tartózkodásra jogosító útlevelet, ám amikor a megszabott idő lejárta után nem tért haza, disszidensnek minősítették.
Előbb a Belga Tenisz Szövetség ifjúsági szakfelügyelője, majd a bajor Iphitos München edzője lett. 1986. szeptember 11-én bekövetkezett haláláig a bajor főváros közelében fekvő Ismaningban élt.
Sportolói teljesítményét számos díjjal és kitüntetéssel ismerték el. Az Örökös bajnok nevét Szombathelyen 1993 óta utca viseli, 2002-ben pedig egykori budapesti lakóhelyén, a Bartók Béla út 75. számú ház falán emléktáblát avattak a tiszteletére.
2009-ben a Római Parton található teniszakadémián róla nevezték el az ország egyetlen állandó teniszstadionját.
A 2017-es esztendőt a 110 éves Magyar Tenisz Szövetség Asbóth József-emlékévnek nyilvánította, és a kiváló teniszező előtt emléktorna megrendezésével, valamint az Asbóth-díj életre hívásával tisztelegett. 2023-ban a francia nyílt bajnokság szervezői Asbóth József nevére szóló emlékplakettet adományoztak családjának, mert 76 évvel azelőtt úgy diadalmaskodott Párizsban, hogy mindössze egy játszmát veszített, ám akkor nem kapta meg a legjobbnak járó trófeát.
Kedves Olvasók, nézzék meg a Sportmúzeum-sorozat Tenisz című epizódját, amely archív felvételek segítségével idézi fel a magyar tenisz legnagyobb bajnokait: https://s.mtva.hu/PiRlN5i5
A Nemzeti Archívum legkorábban létrejött gyűjteményi egysége, a Sajtóarchívum anyagait, amelynek segítségével a fenti írás is készült, itt olvashatják.
Borítókép: Otthonában bajnoki serlegeivel (MTI Fotó: Bojár Sándor)
Kedves Olvasók, folyamatosan bővülő Fotótárunkban jelenleg több mint 347 ezer fénykép közül válogathatnak. Ha cikkünk felkeltette érdeklődésüket, ide kattintva számos további érdekes felvételt találnak. Jó böngészést kívánunk!